Ubicación de la isla de Paros (Grecia). Fuente: Wikipedia
Thymaridas de Paros (400-350 a.C.), un matemático menor del siglo IV a.C., dio la regla siguiente para solucionar un cierto conjunto de $n$ ecuaciones lineales simultáneas que tienen $n$ incógnitas. La regla se hizo tan conocida que adoptó el título de la Flor de Thymaridas:
"Si se conoce la suma de $n$ cantidades, y también la suma de cada uno de los pares que contienen a una particular de ellas, entonces esta cantidad particular es igual a $\frac{1}{n-2}$ de la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada".
En notación algebraica moderna, la flor de Thymaridas se expresaría como sigue:
Dado el sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas siguiente:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x+x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S \\
x+x_{1}=a_{1} \\
x+x_{2}=a_{2} \\
\quad \;\;\vdots \\
x+x_{n-1}=a_{n-1}
\end{array}
\right. $$
Entonces el valor de la incógnita común $x$ es:
$$x=\dfrac{1}{n-2}[(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})-S]$$
Veamos que, en efecto, el valor de la incógnita común es el reseñado:
Si sumamos las $n-1$ últimas ecuaciones de la identidad anterior, obtenemos una nueva condición para las incógnitas:
$$(n-1)x+x_{1} +x_{2} +...+x_{n-1} =a_{1} +a_{2} +...+a_{n-1} $$
$$\left\{
\begin{array}{l}
x+x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S \\
x+x_{1}=a_{1} \\
x+x_{2}=a_{2} \\
\quad \;\;\vdots \\
x+x_{n-1}=a_{n-1}
\end{array}
\right. $$
Entonces el valor de la incógnita común $x$ es:
$$x=\dfrac{1}{n-2}[(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})-S]$$
Veamos que, en efecto, el valor de la incógnita común es el reseñado:
Si sumamos las $n-1$ últimas ecuaciones de la identidad anterior, obtenemos una nueva condición para las incógnitas:
$$(n-1)x+x_{1} +x_{2} +...+x_{n-1} =a_{1} +a_{2} +...+a_{n-1} $$
o equivalentemente:
$$(n-2)x+(x+x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}$$
$$\Leftrightarrow (n-2)x+S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}.$$
$$(n-2)x+(x+x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}$$
$$\Leftrightarrow (n-2)x+S=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}.$$
Así al despejar, el valor de $x$ deberá cumplir que:
$$(n-2)x=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-S\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{n-2}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-S)$$
como se deseaba probar.
¿Por qué se llama así la flor de Thymaridas?. Nos imaginamos que por esta imagen que mostramos a continuación:
En la imagen aparecen las cantidades involucradas en el problema definido anteriormente.
Referencias
1. Página de Historia de las Matemáticas de la Universidad de St. Andrews: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Thymaridas.html
$$(n-2)x=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-S\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{n-2}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-S)$$
como se deseaba probar.
¿Por qué se llama así la flor de Thymaridas?. Nos imaginamos que por esta imagen que mostramos a continuación:
Referencias
1. Página de Historia de las Matemáticas de la Universidad de St. Andrews: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Thymaridas.html
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