Reflexiones sobre raíces (I)

Este es el primero de una serie de artículos que tratan sobre cuestiones relacionadas con las raíces de números reales. Lo que proponemos son algunas consideraciones que se salen fuera de los contenidos habituales de los curricula de matemáticas en secundaria. En esta primera entrega nos preguntamos por el motivo por el que las raíces $n-$ésimas sólo se definan para exponentes naturales mayores o iguales a 2, y mostramos que es posible generalizar el concepto de raíz cuando el índice es un número racional cualquiera, si bien, como se verá, el resultado o no es satisfactorio, o quizás se reduce a una raíz clásica de índice natural. Esperemos que nuestras reflexiones sirvan como punto de partida para elaborar actividades que puedan ser llevadas al aula de secundaria o de Bachillerato, por qué no. ¡Allá vamos!

1. Raíces de índice 0 y 1

Cuando hacemos uso de la definición clásica de la raíz cuadrada de un número real, es inherente prolongar a exponentes mayores esta noción, obteniéndose así las raíces $n-$ésimas, haciéndose hincapié en que la definición es válida para $n\geq 2.$

Vamos a tratar de explicar el motivo de esta "exigencia", planteándonos la siguiente pregunta: ¿qué serían las raíces de índice 0 y de índice 1?

En la definición de cualquier raíz $n-$ésima, con ($n\geq 2$) está la esencia de cómo extender la definición. Podríamos precisar las raíces de índice 1 así:

$$\sqrt[1]{a}=b\Leftrightarrow b^{1}=a.$$

Pronto apreciamos que si $b^{1}=a,$ entonces $b=a$ y la transformación así definida se reduce a dejar inalterado el número sobre el que se aplica. Es entonces una obviedad que $\sqrt[1]{3}=3,$ que $\sqrt[1]{0}=0,$ o que $\sqrt[1]{-8}=-8.$ La verdad es que esta raíz, así definida, no provee interés alguno, en tanto que no soluciona ningún problema matemático ni de la vida real.

Pero si quisiéramos definir las raíces $0-$ésimas, o de índice cero, nos encontraríamos con una dificultad añadida. Su definición debería ser como mostramos seguidamente:

$$\sqrt[0]{a}=b\Leftrightarrow b^{0}=a.$$

En tanto que si $b\neq 0$, se tiene que $b^{0}=1$, deducimos que, lamentablemente debe ser $a=1$, es decir, el único número para el que tendría sentido extraer su raíz $0-$ava o $0-$ésima es el número 1. Una transformación que sólo tiene validez para un único número, no merece más interés ni parece tener atisbo de utilidad alguna.

2. Pero, ¿hay raíces de índice negativo? 

Con el "juego" conceptual que proporciona la definición de raíz $n-$ésima, ¿podríamos definir raíces de índice un número entero negativo?. La respuesta a esta pregunta ya la tendrá en mente el lector, y es obviamente afirmativa. Sin embargo no se estudian en los textos de secundaria. ¿A qué obedece esta exclusión? Trataremos de dar una respuesta significativa.

Supongamos que $n\in \mathbb{N}$ es no nulo. La manera de definir una raíz $-n-$ésima (de índice $-n$ negativo) podría ser: $$\sqrt[-n]{a}=b\Leftrightarrow b^{-n}=a. $$

Hasta aquí nada nuevo. Pero haciendo uso de la definición de potencia de exponente negativo, tenemos que: $$b^{-n}=a\Leftrightarrow \frac{1}{b^{n}}=a\Leftrightarrow \left( \frac{1}{b}\right) ^{n}=a,$$ o lo que es lo mismo, el número real $\frac{1}{b}$ es la raíz $n-$ésima de $a$. El lector ya habrá reparado por qué hemos de exigir que $a$ sea no nulo, y adicionalmente que $b$ sea no nulo también. Por tanto, $$\frac{1}{b}=\sqrt[n]{a}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=b=\sqrt[-n]{a},$$ obteniéndose así que la raíz de índice negativo de un número real no nulo es la inversa de la misma raíz con índice positivo. Finalmente, hemos de percatarnos de que una raíz de índice negativo se puede definir en las siguientes condiciones:
$$\text{Si }n\geq 2\Rightarrow \sqrt[-n]{a}\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>0\text{, cuando }n\text{ es par} \\ a\neq 0,\text{ cuando }n\text{ es impar} \end{array} \right.$$ 

3. Y ya puestos, ¿raíces de índice racional?

Pues veamos. Sea $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ y supongamos que $\frac{p}{q}>0$ (consideraremos que $p,q \in \mathbb{Z}^{+}$ por comodidad). Supongamos que tiene sentido la expresión $\sqrt[^{\frac{p}{q}}]{a}$ para un número real $a$. Si extendemos de manera natural la definición, deberá ser:

$$\sqrt[^{\frac{p}{q}}]{a}=b\Leftrightarrow b^{\frac{p}{q}}=a\Leftrightarrow \sqrt[q]{b^{p}}=a.$$

Por ejemplo, ¿qué significa $\sqrt[^{\frac{1}{2}}]{4}$? Según la definición anterior, 

$$\sqrt[^{\frac{1}{2}}]{4}=b\Leftrightarrow b^{\frac{1}{2}}=4\Leftrightarrow\sqrt{b}=4 \Leftrightarrow b=16.$$

Por tanto $\sqrt[^{\frac{1}{2}}]{4}=16=4^{2}.$ Es decir, podemos expresar la raíz de índice $\frac{1}{2}$ como una potencia de exponente 2. Es inmediato generalizar que, en condiciones  adecuadas para una buena definición,

$$\sqrt[^{\frac{1}{n}}]{a}=a^{n}.$$

De hecho, haciendo uso de la posibilidad de que estas raíces se expresen como potencias de exponente fraccionario, debería ser $\sqrt[^{\frac{1}{n}}]{a}=a^{\frac{1}{1/n}}=a^{n},$ circunstancia que confirma nuestras apreciaciones anteriores.

Podemos continuar aplicando las mismas consideraciones a un índice racional (positivo) más general, de modo que para un número racional $\frac{m}{n}>0$ debería ser:

$$\sqrt[^{\frac{m}{n}}]{a}=a^{\frac{1}{m/n}}=a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^{n}},$$

es decir, podemos expresar la nueva raíz así definida en términos de raíces clásicas de índice algún número entero positivo. Para una definición verdaderamente significativa, supondremos que $\frac{m}{n}$ sea racional no entero y que $m\geq 2.$

Finalmente, el lector sabrá definir cómodamente una raíz de índice racional negativo, sin más que tener en cuenta las consideraciones realizadas en el apartado anterior.

4. Conclusión

Cada raíz definida fuera del ámbito clásico de raíz de índice natural $n\geq 2,$ bien no tiene demasiado interés conceptual, bien se puede expresar utilizando las raíces clásicas. Sin asegurar categóricamente que sea así, nos parece que sean estos los motivos por los que no se ha ido más allá de la definición de raíces de índice un número natural mayor o igual que dos.