Arquímedes de Siracusa y el Principio de la Hidrostática

 

Arquímedes de Siracusa (287 a.C. -- 212 a. C.) es, según muchos autores, uno de los tres matemáticos más grandes que ha habido (junto con Carl Friedrich Gauss y Leonhard Euler). Hablar de Arquímedes aquí tiene su justificación en el interés por el desarrollo de una actividad prevista para los alumnos de 4° de la ESO, fundamentada en una historia creemos que verídica en gran medida, y con tintes que rallan en lo sorprendente. Tendremos ocasión posteriormente de comentar la actividad aludida. La historia de la que hablamos es precisamente el punto de partida de uno de los teoremas de la hidrostática más famoso, seguramente por el que Arquímedes es más conocido: el principio de Arquímedes.

    Pero antes hablemos un poco de Arquímedes. Nació y murió en la localidad siciliana de Siracusa. Fue indudablemente el matemático más grande de su época, y un genio de las ciencias en general. Algunas fórmulas relativas al área de ciertas figuras planas o al área y al volumen de diversos cuerpos geométricos se deben a este ilustre matemático. Pero seguramente es más conocido por sus contribuciones tecnológicas. Son famosos sus trabajos sobre poleas o la invención de numerosos aparatos de guerra. Estos aparatos fueron realmente efectivos en la defensa de Siracusa mientras se encontraba sitiada por las tropas romanas bajo el mando del comandante Marcelo, durante la segunda guerra púnica. Existe una referencia notable de las invenciones de guerra de Arquímedes debida a Plutarco, en una obra sobre Marcelo, que nos parece especialmente interesante incluir aquí. Sobre el asedio del 212 a. C., Plutarco escribió:... cuando Arquímedes comenzó a emplear sus ingenios, él disparó inmediatamente contra las fuerzas de tierra toda suerte de proyectiles, e inmensas masas de piedra que cayeron con increíble ruido y violencia; contra lo cual ningún hombre pudo resistir; porque derribaban a todos aquellos sobre quienes caían a montones, rompiendo todas sus filas. Mientras tanto grandes postes empujaban desde las murallas los barcos y hundieron algunos mediante grandes pesos que dejaban caer desde encima de los mismos; otros los levantaban en el aire con una mano de hierro o un pico de ave como un pico de grulla y, cuando los habían colgado por la proa, y puesto de punta sobre la popa, los hundían hasta el fondo del mar; o bien los barcos, colgados por los ingenios de dentro, y hechos girar violentamente, eran arrojados contra las afiladas rocas que sobresalían de las murallas, con gran destrucción de los soldados que estaban a bordo de ellas. Un barco era frecuentemente levantado a gran altura en el aire (algo horrible de contemplar), y era sacudido de acá para allá, y se mantenía meciéndose, hasta que los marineros eran todos arrojados, cuando era arrojado en toda su longitud contra las rocas o dejado caer.

    Arquímedes fue persuadido por su amigo y pariente, el rey Hieron II, para construir tales máquinas:

Estas máquinas que [Arquímedes] había diseñado e inventado, no como asuntos de ninguna importancia, sino como simples pasatiempos de geometría; de conformidad con el deseo y demanda del rey Hieron, poco tiempo antes, que él se limitaría a practicar una parte de su admirable especulación en ciencia, y acomodando la verdad teórica a la percepción y el uso ordinario, atraer la apreciación de la gente en general.

    Arquímedes adquirió gran fama por su invención de la polea compuesta. Plutarco también dejó constancia de esta aportación, y dejó evidencia asimismo de cómo Arquímedes fue capaz de sacar un barco cargado con diversas mercancías, y con gran abundancia de pasajeros, de un muelle de carga mediante un sistema de poleas, con una sola cuerda y la fuerza de sus manos,

…tan suave y uniformemente como si hubiese estado en el mar.

    Arquímedes creía, sin embargo, que las matemáticas eran la única profesión digna, tal y como de nuevo Plutarco nos describió:

Arquímedes poseyó un espíritu tan alto, un alma tan profunda, y tales tesoros de conocimiento científico, que aunque estas invenciones le habían ahora aportado el renombre de estar por encima de la sagacidad humana, él todavía no se dignaría a dejar tras él ningún comentario o escrito sobre tales materias; sino, repudiando como sórdido e innoble todo el comercio de la ingeniería, y toda suerte de arte que se preste al mero uso y provecho, él depositó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras en las que no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida; los estudios, la superioridad de los cuales sobre todas las otras es incuestionable, y en los cuales la única duda puede ser si es la belleza y grandeza de los sujetos examinados, o la precisión y coherencia de los métodos y medios de prueba, los que merecen más nuestra admiración.

    Podríamos hablar bastante de las numerosas obras de Arquímedes. Siguiendo el carácter que marca este artículo, seremos escuetos y nos centraremos muy brevemente en tres obras suyas: Medición del Círculo, El arenario y Sobre los cuerpos flotantes. En la primera, Arquímedes demuestra, entre otras cosas, que el valor exacto de π se sitúa entre los valores:

$$3,1408≈\frac{223}{71}<π<\frac{22}{7}≈3,1428 $$.

    Este dato lo obtuvo circunscribiendo un círculo con polígonos regulares de 96 lados.
 

   El arenario es un trabajo de gran relevancia pues en él Arquímedes ideó un sistema numérico (semejante a nuestras modernas potencias) que era capaz de representar, de una manera elemental, números hasta 8×10⁶³ (en notación moderna).
    En Sobre los cuerpos flotantes, Arquímedes estableció los principios básicos de la hidrostática. Su famoso teorema que da el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, el aludido principio de Arquímedes, aparece en esta obra.
 

    La historia que gira alrededor del descubrimiento de este principio hidrostático es realmente curiosa, y por desgracia ciertamente desconocida entre la comunidad de nuestros estudiantes. El gran arquitecto romano, de la época de Augusto, Marco Polión Vitrubio, nos legó el relato de las circunstancias en las que Arquímedes descubrió su célebre principio. Data de dos siglos después de su descubrimiento, por lo que es posible que el relato de Vitrubio no se ajuste plenamente a la verdad, aunque ciertamente hay que asegurar que se basa en una tradición parcialmente exacta. El principio de Arquímedes se fundamenta en un simple problema de aleaciones (o sea, de mezcla de metales), en el que no se conocen directamente los pesos específicos de los cuerpos considerados. Arquímedes probaría que existe una relación directa entre la pérdida de peso de un objeto al sumergirlo en un líquido con el peso del volumen del líquido que desaloja. Recordemos el principio estudiado por nuestros alumnos:

Principio de Arquímedes. Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado.

    El relato de Vitrubio nos dice:

"Entre los numerosos y admirables descubrimientos hechos por Arquímedes es preciso destacar uno, al que voy a referirme, en el cual muestra una sutilidad de espíritu casi increíble.
Hieron de Siracusa, habiendo triunfado felizmente en todas sus empresas, decidió ofrecer una corona de oro a los dioses inmortales en cierto templo. Se puso de acuerdo con un artesano acerca de una gran suma de dinero para su elaboración y se la entregó en oro bruto. Este artesano entregó la corona en el día convenido al rey, quien la encontró perfectamente ejecutada; después de pesarla se comprobó que su peso coincidía con el oro que se había entregado; pero luego se supo que el artesano había sustituido una parte del oro por plata. El rey se sintió muy ofendido por este engaño, y al no poder encontrar la forma de probar al artesano el robo cometido, encargó a Arquímedes que se encargara de ello. Un día, éste, al introducirse en el baño preocupado por este encargo, comprobó que a medida que se hundía en el agua ésta sobresalía por los bordes de la bañera. Esta observación le hizo descubrir la razón de lo que buscaba y fue tal su alegría que sin esperar más salió corriendo desnudo hacia su casa, gritando que había encontrado lo que buscaba, exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo he encontrado! ¡Lo he encontrado!). Se dice que después de este primer descubrimiento mandó hacer dos masas del mismo peso de la corona, una de oro y otra de plata. Introdujo la masa de plata en un recipiente lleno de agua, de modo que al hundirse iba derramando una cantidad de agua igual a su volumen; luego retiró la masa y volvió a poner el agua derramada, después de medirla, con lo cual determinó el volumen de la masa de plata. Después de esta experiencia introdujo igualmente la masa de oro en el mismo recipiente lleno de agua, midió de nuevo el agua derramada y comprobó que la masa de oro no había hecho salir tanta cantidad de agua como la de plata; esta diferencia de cantidad de agua era igual a la diferencia de volúmenes entre las masas de oro y plata de igual peso. Luego llenó de nuevo el recipiente y esta vez introdujo la corona, la cual derramó más agua que la que había hecho salir la masa de oro y menos que la que había desplazado la masa de plata. Después de estas experiencias calculó en cuánto era mayor la cantidad de agua derramada por la corona que la derramada por la masa de oro, y supo así con exactitud qué cantidad de plata el artesano había mezclado con el oro de la corona, y pudo demostrar que éste había efectivamente sustraído parte del oro que se le había entregado."

Grabado del siglo XVI que ilustra el relato del descubrimiento de Arquímedes del principio que lleva su nombre. (W.H. Ryff, Der furnembsten, notwendigsten der gantzen Architectur angehörigen mathematischen und mechanischen Kunst…, Nuremberg, 1547).

    En la historia relatada por Vitrubio, apreciamos un hecho que se ha constatado en muy diversos descubrimientos científicos, que consiste en la manera en que surge esa idea feliz o esa "chispa" que permite alcanzar la solución de un problema que ha sido largamente estudiado. El instante de la verificación de un problema que se ha resistido durante una cantidad considerable de tiempo es, podríamos llamar, una iluminación, y está acompañada de una fuerte sacudida emocional, que permitiría comprender por qué un hombre como Arquímedes, con un carácter profundo, pudo llegar a salir desnudo por las calles de Siracusa tras su hallazgo. Sobre las circunstancias que rodean a un descubrimiento científico, nos parece interesante, como circunstancia para reflexionar, presentar aquí las palabras que enunció el matemático británico William Kingdom Clifford en una conferencia en la Royal Institution titulada Some of the conditions of mental developments (Algunas de las condiciones de los acaecimientos mentales). Con 23 años, Clifford intentó explicar cómo se realizan los descubrimientos científicos:

"No hay descubridor científico, ni poeta, ni pintor, ni músico, que no te diga que encontrara culminado su descubrimiento o poema o pintura -- que le vino desde fuera, y que no lo crearon conscientemente desde adentro."

 
    Parece como si Clifford quisiera otorgar un toque "mágico" o "divino" al descubrimiento que el hombre realiza tras cualquier travesía investigadora, o para conseguir la elaboración de una obra artística.

    Es ya un buen momento para detallar la actividad planteada a los alumnos de 4° de ESO que trata del principio de Arquímedes. En ella se describen en esencia los aspectos fundamentales de la motivación histórica del principio de Arquímedes, y se aportan datos numéricos concretos, relacionados con la proporción de pérdida de peso que se produce al sumergir un cuerpo en un líquido. Pensemos que el principio de Arquímedes nos muestra que un objeto sumergido pesa menos, y que la pérdida de peso tiene que ver con su peso específico, o sea, con su densidad. De esta manera, podemos comprender que iguales pesos de dos metales desalojen volúmenes distintos de líquido en el que se sumergen, pues sus densidades son diferentes. Detallemos la actividad:

Problema: Hieron, rey de Siracusa, había dado a un platero 7465 g de oro para hacer una corona que quería ofrecer a Júpiter. Para conocer si el orfebre había reemplazado oro por plata, le pidió a Arquímedes que lo averiguara, sin dañar la corona. Arquímedes metió la corona en agua y perdió 467 g de su peso. Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milésimas de su peso y que la plata pierde 95 milésimas. Hallar los gramos de oro y plata de la corona real.

    La solución de este problema puede obtenerse planteando y resolviendo un sencillo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si llamamos $x$ e $y$ a los pesos en gramos del oro y de la plata, respectivamente, que existen en la citada corona, es fácil darse cuenta de que:
   $$ x+y=7465. $$
    Por otra parte, los pesos que tanto el oro como la plata pierden al sumergirse en agua, deben determinar el peso real perdido por la corona al ser sumergida, es decir, $467$ gramos. Como el oro pierde $52$ milésimas de su peso al ser sumergido, los $x$ gramos verdaderos de oro que hay en la corona perderán un total de $0,052⋅x$ gramos, mientras que la plata, por su parte, según nos dice el problema, perderá entonces $0,095⋅y$ gramos. Por tanto, los pesos perdidos sumarán los $467$ gramos perdidos por la corona, es decir:
   $$ 0,052⋅x+0,095⋅y=467. $$
    Tras resolver el sistema compuesto por las dos ecuaciones anteriores, se obtienen los pesos aproximados siguientes:

$$x  =  5632  \text{ gramos,  }$$  

$$y = 1833  \text{ gramos.}$$

    Después de resolver este problema, apreciamos que la "picaresca" no ha sido exclusiva de los españoles. Sospechamos que existe y ha existido prácticamente desde siempre, y en cualquier parte del mundo.

    Para finalizar, nos gustaría resaltar un valor fundamental que podemos sacar de la historia que hemos contado. Los investigadores científicos, en general, son evidentemente humanos. Durante su labor investigadora, se encuentran en multitud de situaciones en las que unas veces aciertan en sus planteamientos, pero también llegan a cometer errores, y esto ha sido muy común a lo largo de la historia de la ciencia. Puede que los investigadores estén hechos de otra madera, pero lo que fundamentalmente les distingue y les caracteriza positivamente es su afán de conocer cómo funcionan las cosas, llegar a comprender mejor todo lo que trabajan, y en definitiva, un enorme afán de saber. La satisfacción que se adquiere con cualquier descubrimiento es siempre impagable. Consideramos que es un valor muy importante que todos deberíamos de incluir en nuestras vidas. En ese sentido, Arquímedes es un gran exponente de este valor, y un referente para tener en cuenta. 

Sin embargo, pese a que esta historia es realmente curiosa, existen reticencias respecto a la veracidad de los argumentos de Arquímedes, y en la forma en la que pudo desenvolverse. Recomendamos encarecidamente al lector que lea El mito de Arquímedes y la corona de oro, artículo que se encuentra en:

http://www.proyectosandia.com/2011/07/el-mito-de-arquimedes-y-la-corona-de.html

Referencias
1. René Taton. Causalidad y accidentalidad de los descubrimientos científicos. Labor. Barcelona, 1967.
2. R. Torija Herrera. Arquímedes. Alrededor del círculo. Nivola. Madrid, 1999.
3. Arquímedes. WIKIPEDIA (www.wikipedia.org)
4. Biografía de Arquímedes en:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Archimedes.html